山形大学
2014年 理学部(物理) 第1問
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$-a<x<a$で定義された曲線$C:y=x \sqrt{a^2-x^2}$がある.ただし$a$は正の定数とする.以下の問いに答えよ.
(1) $y$の増減を調べ,曲線$C$の概形をかけ.
(2) 曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ.またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ.
(3) $3$つの共有点のうち,$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と,直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め,その正三角形の面積を求めよ.
(1) $y$の増減を調べ,曲線$C$の概形をかけ.
(2) 曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ.またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ.
(3) $3$つの共有点のうち,$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と,直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め,その正三角形の面積を求めよ.
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