お茶の水女子大学
2014年 数学科・物理学科(共通問題) 第3問
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![放物線y=x^2をC,y=-x^2+2x+4をDとする.実数tを用いて表されるD上の点P(t,-t^2+2t+4)におけるDの接線をℓとする.(1)CとDが異なる2点で交わることを示し,そのx座標を求めよ.(2)接線ℓの方程式をy=f(x)とする.f(x)を求めよ.(3)(1)で求めた2交点のx座標をa,b(a<b)とする.a<t<bを満たすtに対して,(2)で求めた接線ℓの方程式をy=f(x)とする.次の連立不等式の表す領域の面積をS(t)とする.{\begin{array}{l}y≧x^2\y≦f(x)\y≧-x^2+2x+4\end{array}.tがa<t<bの範囲を動くとき,S(t)が最小となるtの値と,そのときのS(t)の値を求めよ.](./thumb/177/2315/2014_3.png)
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放物線$y=x^2$を$C$,$y=-x^2+2x+4$を$D$とする.実数$t$を用いて表される$D$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2t+4)$における$D$の接線を$\ell$とする.
(1) $C$と$D$が異なる$2$点で交わることを示し,その$x$座標を求めよ.
(2) 接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする.$f(x)$を求めよ.
(3) $(1)$で求めた$2$交点の$x$座標を$a,\ b \ \ (a<b)$とする.$a<t<b$を満たす$t$に対して,$(2)$で求めた接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする.次の連立不等式の表す領域の面積を$S(t)$とする. \[ \left\{ \begin{array}{l} y \geqq x^2 \\ y \leqq f(x) \\ y \geqq -x^2+2x+4 \end{array} \right. \]
$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき,$S(t)$が最小となる$t$の値と,そのときの$S(t)$の値を求めよ.
(1) $C$と$D$が異なる$2$点で交わることを示し,その$x$座標を求めよ.
(2) 接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする.$f(x)$を求めよ.
(3) $(1)$で求めた$2$交点の$x$座標を$a,\ b \ \ (a<b)$とする.$a<t<b$を満たす$t$に対して,$(2)$で求めた接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする.次の連立不等式の表す領域の面積を$S(t)$とする. \[ \left\{ \begin{array}{l} y \geqq x^2 \\ y \leqq f(x) \\ y \geqq -x^2+2x+4 \end{array} \right. \]
$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき,$S(t)$が最小となる$t$の値と,そのときの$S(t)$の値を求めよ.
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