広島工業大学
2010年 工・情報・環境学部(A) 第4問
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平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OC}=1$とし，$\angle \mathrm{AOC}$は鋭角とする．また，辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}=t$とする．
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．ただし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta$とする．
(3) 三角形$\mathrm{OCP}$の面積が平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$であるとき，$t$の値を求めよ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$(2)$で定めた角$\theta$の大きさを求めよ．
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．ただし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta$とする．
(3) 三角形$\mathrm{OCP}$の面積が平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$であるとき，$t$の値を求めよ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$(2)$で定めた角$\theta$の大きさを求めよ．
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