明治大学
2012年 全学部 第1問
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![空欄[]に当てはまるものを入れよ.(1)5個の数字0,1,2,3,4を並べて5桁の整数を作る.小さい順にこれらの整数を並べたとき,57番目の整数は\fbox{\footnotesize\phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}である.また,偶数である整数は[カキ]個あり,4の倍数である整数は[クケ]個ある.(2)次の連立方程式{\begin{array}{l}log_xy+2log_yx=3\log_x(y^2+xy)=2\end{array}.の解はx=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]},y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}である.(3)自然数1,2,・・・,nの中から異なる二つの数を選んで積を作る.このような積全ての和をS_nとおく.ただし,S_1=0とする.S_nとS_{n-1}の間には漸化式S_n=S_{n-1}+n・\frac{[タ]}{[チ]}が成り立つ.これを使って,S_nを求めるとS_n=\frac{1}{[ツテ]}・n(n+1)([ト])となる.](./thumb/294/3238/2012_1.png)
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空欄$\fbox{}$に当てはまるものを入れよ.
(1) $5$個の数字$0$,$1$,$2$,$3$,$4$を並べて$5$桁の整数を作る.小さい順にこれらの整数を並べたとき,$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である.また,偶数である整数は$\fbox{カキ}$個あり,$4$の倍数である整数は$\fbox{クケ}$個ある.
(2) 次の連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} \log_xy+2 \log_y x=3 \\ \log_x(y^2+xy)=2 \end{array} \right. \] の解は$\displaystyle x=\frac{-\fbox{コ}+\sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$,$\displaystyle y=\frac{\fbox{ス}-\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$である.
(3) 自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る.このような積全ての和を$S_n$とおく.ただし,$S_1=0$とする.$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式 \[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \] が成り立つ.これを使って,$S_n$を求めると \[ S_n=\frac{1}{\fbox{ツテ}} \cdot n(n+1)(\fbox{ト}) \] となる.
(1) $5$個の数字$0$,$1$,$2$,$3$,$4$を並べて$5$桁の整数を作る.小さい順にこれらの整数を並べたとき,$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である.また,偶数である整数は$\fbox{カキ}$個あり,$4$の倍数である整数は$\fbox{クケ}$個ある.
(2) 次の連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} \log_xy+2 \log_y x=3 \\ \log_x(y^2+xy)=2 \end{array} \right. \] の解は$\displaystyle x=\frac{-\fbox{コ}+\sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$,$\displaystyle y=\frac{\fbox{ス}-\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$である.
(3) 自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る.このような積全ての和を$S_n$とおく.ただし,$S_1=0$とする.$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式 \[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \] が成り立つ.これを使って,$S_n$を求めると \[ S_n=\frac{1}{\fbox{ツテ}} \cdot n(n+1)(\fbox{ト}) \] となる.
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