愛媛大学
2014年 医学部 第1問
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$n$を$0$以上の整数とする.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は,$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を,以下の条件$(\mathrm{a})$,$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する.
[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において,点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に,点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる. [($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において,点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々,時刻$t=n$のときにいた頂点から,他の$3$つの頂点のいずれかに,それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する.
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく.$d_n$の値は$0$または$1$である.時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする.
(1) 時刻$t=1$とする.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき,$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき,$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか.
(2) $p_1$を求めよ.
(3) $d_1+d_2=1$となる確率を求めよ.
(4) $p_{n+1}$を$p_n$で表し,$p_n$を求めよ.
[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において,点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に,点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる. [($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において,点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々,時刻$t=n$のときにいた頂点から,他の$3$つの頂点のいずれかに,それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する.
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく.$d_n$の値は$0$または$1$である.時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする.
(1) 時刻$t=1$とする.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき,$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき,$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか.
(2) $p_1$を求めよ.
(3) $d_1+d_2=1$となる確率を求めよ.
(4) $p_{n+1}$を$p_n$で表し,$p_n$を求めよ.
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