千葉大学
2010年 教育学部(算数・技術) 第11問
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$f(x)$は実数全体で定義された関数とする.実数$a$に関する条件$(\mathrm{P})$を考える.
$(\mathrm{P})$ \ \ 正の実数$r$を十分小さく選べば,$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x) \leqq f(a)$が成り立つ.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたし,かつ,$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば,$f^\prime(a)=0$であることを証明せよ.
(2) 関数$f(x)$が \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} |x|-x & (x<1 \text{のとき}) \\ |x^2-6x+8| & (x \geqq 1 \text{のとき}) \end{array} \right. \] で定義されているとき,条件$(\mathrm{P})$をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ.
(3) 一般に,実数全体で定義された関数$f(x)$に対し,次の命題は正しいか.正しければ証明し,正しくなければ反例を挙げよ.
(命題) \ \ すべての実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたすならば,$f(x)$は定数関数である.
$(\mathrm{P})$ \ \ 正の実数$r$を十分小さく選べば,$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x) \leqq f(a)$が成り立つ.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたし,かつ,$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば,$f^\prime(a)=0$であることを証明せよ.
(2) 関数$f(x)$が \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} |x|-x & (x<1 \text{のとき}) \\ |x^2-6x+8| & (x \geqq 1 \text{のとき}) \end{array} \right. \] で定義されているとき,条件$(\mathrm{P})$をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ.
(3) 一般に,実数全体で定義された関数$f(x)$に対し,次の命題は正しいか.正しければ証明し,正しくなければ反例を挙げよ.
(命題) \ \ すべての実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたすならば,$f(x)$は定数関数である.
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