岐阜大学
2012年 理系 第3問
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鋭角三角形OABにおいて,$\text{OA} \geqq \text{OB}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく.実数$t,\ s$を$0<t<1,\ 0<s<1$とする.辺OAを$t:(1-t)$の比に内分する点をP,辺OBを$s:(1-s)$の比に内分する点をQ,直線AQと直線BPとの交点をRとする.以下の問に答えよ.
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{center}
\begin{picture}(7,5)(0,0)
\put(0.5,0.5){\line(1,0){6}}
\put(0.5,0.5){\line(1,1){4}}
\put(6.5,0.5){\line(-1,2){2}}
\put(6.5,0.5){\line(-1,1){3}}
\put(0.5,0.5){\line(2,1){4.8}}
\put(0.1,0.1){A}
\put(6.6,0.1){B}
\put(4.4,4.7){O}
\put(3.1,3.5){P}
\put(5.5,2.9){Q}
\put(4.4,1.9){R}
\end{picture}
\end{center}
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき,$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき,$s \geqq t$となることを示せ.このとき,$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき,$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき,$s \geqq t$となることを示せ.このとき,$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ.
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