天使大学
2015年 全学部 第3問
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関数$f(x)=(x^2+2x)^2+2a(x^2+2x)+b$を考える.ただし$a$と$b$は定数であり,$f(x)$の最小値が$-4$,$f(1)=13$をみたすとする.次の問いに答えなさい.
(1) $X=x^2+2x$とおくと$X \geqq \mkakko{$\mathrm{a}$}$である.
(2) $b=\mkakko{$\mathrm{b}$}a+\mkakko{$\mathrm{c}$}$である.
(3) $\displaystyle f(x)=\left( X+\mkakko{$\mathrm{d}$}a \right)^2+\mkakko{$\mathrm{e}$}a^2+\mkakko{$\mathrm{f}$}a+\mkakko{$\mathrm{g}$}$である.
(4) 定数$a$と$b$の値を求めなさい.
$a>\mkakko{$\mathrm{h}$}$のとき,$\displaystyle a=\frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}},\ b=\frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$である.
$a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$}$のとき,$a=\mkakko{$\mathrm{o}$}-\sqrt{\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}},\ b=\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}+\mkakko{$\mathrm{t}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{u}$} \mkakko{$\mathrm{v}$}}$である.
ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$と$\mkakko{$\mathrm{m}$}$は正の数である.
(1) $X=x^2+2x$とおくと$X \geqq \mkakko{$\mathrm{a}$}$である.
(2) $b=\mkakko{$\mathrm{b}$}a+\mkakko{$\mathrm{c}$}$である.
(3) $\displaystyle f(x)=\left( X+\mkakko{$\mathrm{d}$}a \right)^2+\mkakko{$\mathrm{e}$}a^2+\mkakko{$\mathrm{f}$}a+\mkakko{$\mathrm{g}$}$である.
(4) 定数$a$と$b$の値を求めなさい.
$a>\mkakko{$\mathrm{h}$}$のとき,$\displaystyle a=\frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}},\ b=\frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$である.
$a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$}$のとき,$a=\mkakko{$\mathrm{o}$}-\sqrt{\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}},\ b=\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}+\mkakko{$\mathrm{t}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{u}$} \mkakko{$\mathrm{v}$}}$である.
ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$と$\mkakko{$\mathrm{m}$}$は正の数である.
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