小樽商科大学
2013年 商学部 第4問
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正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$が下図のように与えられている.正方形$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$,正方形$\mathrm{A}_3 \mathrm{B}_3 \mathrm{C}_3 \mathrm{D}_3$,$\cdots$,正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$,正方形$\mathrm{A}_{n+1} \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{C}_{n+1} \mathrm{D}_{n+1}$,$\cdots$を順に考える.ただし,$\mathrm{A}_{n+1}$,$\mathrm{B}_{n+1}$,$\mathrm{C}_{n+1}$,$\mathrm{D}_{n+1}$はそれぞれ順に$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$,$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$,$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$,$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$の中点,$\mathrm{O}$は$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}_1$の中点である.正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする.その時,$\displaystyle \frac{S_n}{S_1}$が初めて$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる$n$の値とその時の$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{OA}_n$を求めよ.$\log_{10}2=0.301$とする.
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