東京工業大学
2015年 理系 第4問
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$xy$平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t \ \ (t>0)$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=t^2 \cos t,\quad y=t^2 \sin t \]
で表されている．原点を$\mathrm{O}$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルを$\overrightarrow{v}$とする．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta (t)$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \theta (t)$を求めよ．
(2) $\overrightarrow{v}$が$y$軸に平行になるような$t \ \ (t>0)$のうち，最も小さいものを$t_1$，次に小さいものを$t_2$とする．このとき，不等式$t_2-t_1<\pi$を示せ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta (t)$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \theta (t)$を求めよ．
(2) $\overrightarrow{v}$が$y$軸に平行になるような$t \ \ (t>0)$のうち，最も小さいものを$t_1$，次に小さいものを$t_2$とする．このとき，不等式$t_2-t_1<\pi$を示せ．
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