明治大学
2016年 商学部 第1問
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次の各問の$\fbox{}$に当てはまる数を入れよ.
(1) $100$以下の自然数で,$2$と$5$を共に素因数にもち,それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は,$\fbox{}$個である.
同様に$100$以下の自然数で,$2$と$3$を共に素因数にもち,それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は,$\fbox{}$である.
(2) 曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える.曲線$C$の接線で,点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき,$\ell$の傾きは,$\fbox{}$であり,$C$,$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は,$\fbox{}$である.
(3) $1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし,$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする.$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり,四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える.$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき,体積が最大となるのは, \[ x=\fbox{},\quad y=\fbox{} \] のときである.
(1) $100$以下の自然数で,$2$と$5$を共に素因数にもち,それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は,$\fbox{}$個である.
同様に$100$以下の自然数で,$2$と$3$を共に素因数にもち,それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は,$\fbox{}$である.
(2) 曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える.曲線$C$の接線で,点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき,$\ell$の傾きは,$\fbox{}$であり,$C$,$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は,$\fbox{}$である.
(3) $1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし,$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする.$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり,四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える.$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき,体積が最大となるのは, \[ x=\fbox{},\quad y=\fbox{} \] のときである.
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