武庫川女子大学
2014年 生活環境(建築)・薬(薬)以外 第2問
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次の空欄$\fbox{$19$}$~$\fbox{$42$}$にあてはまる数字を入れよ.ただし,空欄$\fbox{$19$}$,$\fbox{$21$}$には$+$または$-$の記号が入る.
(1) 原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち,$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする.線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta \ \ (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする.
(ⅰ) $\tan \theta=\fbox{$19$}\fbox{$20$}$であり,
$\cos \theta=\fbox{$21$} \frac{\sqrt{\fbox{$22$}}}{\fbox{$23$}}$であり,
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{\fbox{$24$}},\ \fbox{$25$} \sqrt{\fbox{$26$}} \right)$である.
(ⅰ) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき,$\mathrm{AB}=\fbox{$27$}\fbox{$28$}$であり,三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\fbox{$29$} \sqrt{\fbox{$30$}}}{\fbox{$31$}}$である.
(2) 下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり,$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする.直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする.この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$,体積を$V$とする.
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は,$r=1$のときの$\displaystyle \frac{\fbox{$32$}}{\fbox{$33$}}$倍であり,$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{\fbox{$34$}\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}\fbox{$37$}}$倍である.
(ⅱ) $r=1$のとき,$S=\fbox{$38$} \pi$であり,
$\displaystyle V=\frac{\fbox{$39$}}{\fbox{$40$}} \left( \fbox{$41$}+\sqrt{\fbox{$42$}} \right) \pi$である. \imgc{593_3185_2014_1}
(1) 原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち,$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする.線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta \ \ (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする.
(ⅰ) $\tan \theta=\fbox{$19$}\fbox{$20$}$であり,
$\cos \theta=\fbox{$21$} \frac{\sqrt{\fbox{$22$}}}{\fbox{$23$}}$であり,
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{\fbox{$24$}},\ \fbox{$25$} \sqrt{\fbox{$26$}} \right)$である.
(ⅰ) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき,$\mathrm{AB}=\fbox{$27$}\fbox{$28$}$であり,三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\fbox{$29$} \sqrt{\fbox{$30$}}}{\fbox{$31$}}$である.
(2) 下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり,$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする.直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする.この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$,体積を$V$とする.
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は,$r=1$のときの$\displaystyle \frac{\fbox{$32$}}{\fbox{$33$}}$倍であり,$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{\fbox{$34$}\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}\fbox{$37$}}$倍である.
(ⅱ) $r=1$のとき,$S=\fbox{$38$} \pi$であり,
$\displaystyle V=\frac{\fbox{$39$}}{\fbox{$40$}} \left( \fbox{$41$}+\sqrt{\fbox{$42$}} \right) \pi$である. \imgc{593_3185_2014_1}
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