京都大学
2016年 理系 第5問
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$xy$平面上の$6$個の点$(0,\ 0)$,$(0,\ 1)$,$(1,\ 0)$,$(1,\ 1)$,$(2,\ 0)$,$(2,\ 1)$が図のように長さ$1$の線分で結ばれている.動点$\mathrm{X}$は,これらの点の上を次の規則に従って$1$秒ごとに移動する.
\setlength{\leftskip}{10mm} [規則:] 動点$\mathrm{X}$は,そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに,等しい確率で移動する.
例えば,$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは,$(1,\ 0)$,$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する.また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは,$(0,\ 1)$,$(1,\ 0)$,$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する.
時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき,$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ.ただし$n$は$0$以上の整数とする. \begin{center} \begin{picture}[ul=1.5mm](40,28)% \mathrmretu*{A(0,5);B(40,5);C(10,0);D(10,25);X(41,4);Y(7,25);Z(9.4,15.6);E(35.2,6);F(20,2);G(7.5,2.5);H(30,2);I(7.5,15.5)}% \ArrowLine<arrowheadsize=2>\A\B \ArrowLine<arrowheadsize=2>\C\D {\linethickness{0.6mm} \put(10,5){\drawline(0,0)(20,0)}% \put(10,15){\drawline(0,0)(20,0)}% \put(10,5){\drawline(0,0)(0,10)}% \put(20,5){\drawline(0,0)(0,10)}% \put(30,5){\drawline(0,0)(0,10)}% } \emathPut\X{{$x$}} \emathPut\Y{{$y$}} \emathPut\F{$1$} \emathPut\I{$1$} \emathPut\H{$2$} \emathPut\G{$\mathrm{O}$} \Kuromaru[2pt]{(10,5)} \Kuromaru[2pt]{(20,5)} \Kuromaru[2pt]{(30,5)} \Kuromaru[2pt]{(10,15)} \Kuromaru[2pt]{(20,15)} \Kuromaru[2pt]{(30,15)} \end{picture} \end{center}
\setlength{\leftskip}{10mm} [規則:] 動点$\mathrm{X}$は,そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに,等しい確率で移動する.
例えば,$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは,$(1,\ 0)$,$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する.また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは,$(0,\ 1)$,$(1,\ 0)$,$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する.
時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき,$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ.ただし$n$は$0$以上の整数とする. \begin{center} \begin{picture}[ul=1.5mm](40,28)% \mathrmretu*{A(0,5);B(40,5);C(10,0);D(10,25);X(41,4);Y(7,25);Z(9.4,15.6);E(35.2,6);F(20,2);G(7.5,2.5);H(30,2);I(7.5,15.5)}% \ArrowLine<arrowheadsize=2>\A\B \ArrowLine<arrowheadsize=2>\C\D {\linethickness{0.6mm} \put(10,5){\drawline(0,0)(20,0)}% \put(10,15){\drawline(0,0)(20,0)}% \put(10,5){\drawline(0,0)(0,10)}% \put(20,5){\drawline(0,0)(0,10)}% \put(30,5){\drawline(0,0)(0,10)}% } \emathPut\X{{$x$}} \emathPut\Y{{$y$}} \emathPut\F{$1$} \emathPut\I{$1$} \emathPut\H{$2$} \emathPut\G{$\mathrm{O}$} \Kuromaru[2pt]{(10,5)} \Kuromaru[2pt]{(20,5)} \Kuromaru[2pt]{(30,5)} \Kuromaru[2pt]{(10,15)} \Kuromaru[2pt]{(20,15)} \Kuromaru[2pt]{(30,15)} \end{picture} \end{center}
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