東京慈恵会医科大学
2013年 理系 第2問
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![xy平面上に2曲線C_1:y=2x\sqrt{1-x^2},C_2:y=\sqrt{1-x^2}がある.C_1,C_2上に2点P_1(t,2t\sqrt{1-t^2}),P_2(t,\sqrt{1-t^2})(-1<t<1)をとり,P_1におけるC_1の接線ℓ_tと,P_2におけるC_2の接線m_tについて考える.このとき,次の問いに答えよ.(1)C_1およびC_2の概形を同じxy平面上に描け.ただし,曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい.また,P_1とP_2が一致するときのtの値を求めよ.(2)2直線ℓ_tとm_tが平行になるときのtがみたすべき条件を,tについての2次方程式で表し,その解α,β(α<β)を求めよ.(3)ℓ_tとm_tが交点をもつとき,その交点のy座標をy_tとする.(i)y_tをtを用いて表せ.(ii)y_t>0となるtの値の範囲を(2)で求めたα,βを用いて表し,この範囲におけるy_tの最小値を求めよ.](./thumb/254/778/2013_2.png)
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$xy$平面上に$2$曲線
\[ C_1:y=2x \sqrt{1-x^2},\quad C_2:y=\sqrt{1-x^2} \]
がある.$C_1$,$C_2$上に$2$点$\mathrm{P}_1(t,\ 2t \sqrt{1-t^2})$,$\mathrm{P}_2 (t,\ \sqrt{1-t^2}) \ \ (-1<t<1)$をとり,$\mathrm{P}_1$における$C_1$の接線$\ell_t$と,$\mathrm{P}_2$における$C_2$の接線$m_t$について考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け.ただし,曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい.また,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ.
(2) $2$直線$\ell_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を,$t$についての$2$次方程式で表し,その解$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$を求めよ.
(3) $\ell_t$と$m_t$が交点をもつとき,その交点の$y$座標を$y_t$とする.
(ⅰ) $y_t$を$t$を用いて表せ.
(ⅱ) $y_t>0$となる$t$の値の範囲を$(2)$で求めた$\alpha,\ \beta$を用いて表し,この範囲における$y_t$の最小値を求めよ.
(1) $C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け.ただし,曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい.また,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ.
(2) $2$直線$\ell_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を,$t$についての$2$次方程式で表し,その解$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$を求めよ.
(3) $\ell_t$と$m_t$が交点をもつとき,その交点の$y$座標を$y_t$とする.
(ⅰ) $y_t$を$t$を用いて表せ.
(ⅱ) $y_t>0$となる$t$の値の範囲を$(2)$で求めた$\alpha,\ \beta$を用いて表し,この範囲における$y_t$の最小値を求めよ.
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