上智大学
2014年 法(法),外国語(フランス・イスパニア・ロシア) 第2問
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$a$を$0$以上の実数とする.区間$0 \leqq x \leqq 3$において,関数$f(x)$を
$0 \leqq x \leqq 1$のとき,$f(x)=-ax^2+1$
$1<x \leqq 3$のとき,$f(x)=-ax^2+x$
とする.各$a$に対して,$f(x)$の最大値を$M(a)$,最小値を$m(a)$とおく.
(1) $M(a)-m(a)$は,
$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}$のとき,$\fbox{ト}a+\fbox{ナ}$
$\displaystyle \frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}<a \leqq \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$のとき,$\displaystyle \frac{\fbox{ネ}a^2+\fbox{ノ}a+1}{\fbox{ハ}a}$
$\displaystyle a>\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$のとき,$\fbox{ヒ}a+\fbox{フ}$
である.
(2) $M(a)-m(a)$は,$\displaystyle a=\frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}$のとき,最小値$\displaystyle \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$をとる.
$0 \leqq x \leqq 1$のとき,$f(x)=-ax^2+1$
$1<x \leqq 3$のとき,$f(x)=-ax^2+x$
とする.各$a$に対して,$f(x)$の最大値を$M(a)$,最小値を$m(a)$とおく.
(1) $M(a)-m(a)$は,
$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}$のとき,$\fbox{ト}a+\fbox{ナ}$
$\displaystyle \frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}<a \leqq \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$のとき,$\displaystyle \frac{\fbox{ネ}a^2+\fbox{ノ}a+1}{\fbox{ハ}a}$
$\displaystyle a>\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$のとき,$\fbox{ヒ}a+\fbox{フ}$
である.
(2) $M(a)-m(a)$は,$\displaystyle a=\frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}$のとき,最小値$\displaystyle \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$をとる.
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