獨協医科大学
2014年 医学部 第4問
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行列$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$について考える.点$\mathrm{P}_0$の座標を$(1,\ 0)$とし,$n$を正の整数とするとき,$f$によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移される点を$\mathrm{P}_n$とする.また,$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \overrightarrow{\mathrm{OP}_k}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}_n}$となる点$\mathrm{Q}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とし,$n \to \infty$のときに$x_n,\ y_n$がともに収束する場合の点$\mathrm{Q}_n$の極限値$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n \right)$を求めよう.
(1) $\displaystyle r=\frac{1}{2}$,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき,$\displaystyle A^3=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}} \left( \begin{array}{cc} \fbox{エ} & \fbox{オ} \\ \fbox{オ} & \fbox{エ} \end{array} \right)$であり,$\mathrm{P}_7$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}},\ \frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{キクケ}} \right)$である.
(2) $E-A$が逆行列をもたない$r,\ \theta \ \ (r \geqq 0,\ 0 \leqq \theta<2\pi)$の条件は,$r=\fbox{サ}$かつ$\theta=\fbox{シ}$である.ただし,$E$は単位行列とする.
$E-A$が逆行列をもつとき,$n$を$2$以上の整数とすると
$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{n-1})=E-A^n$より \[ E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n) \] また,$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1} \left( \begin{array}{cc} 1-r \cos \theta & -r \sin \theta \\ r \sin \theta & 1-r \cos \theta \end{array} \right)$であるから
$\displaystyle (E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1}T$とすると \[ T=\left( \begin{array}{cc} 1-r \cos \theta-r^n \fbox{ス}+r^{n+1} \fbox{セ} & -r \sin \theta+r^n \fbox{ソ}-r^{n+1} \fbox{タ} \\ r \sin \theta-r^n \fbox{ソ}+r^{n+1} \fbox{タ} & 1-r \cos \theta-r^n \fbox{ス}+r^{n+1} \fbox{セ} \end{array} \right) \] である.ただし,$\fbox{ス}$,$\fbox{セ}$,$\fbox{ソ}$,$\fbox{タ}$には,次の$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと.なお,同じ選択肢を選んでもよいものとする. \[ \nagamaruichi \ \sin n\theta \quad \nagamaruni \ \cos n\theta \quad \nagamarusan \ \sin (n-1) \theta \quad \nagamarushi \ \cos (n-1) \theta \quad \nagamarugo \ \sin (n+1) \theta \quad \nagamaruroku \ \cos (n+1) \theta \] $0 \leqq r<1$のとき,$\lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n$はともに収束し,さらに$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とすると, \[ \mathrm{Q}=\left( \frac{\fbox{チ}-r}{\fbox{ツ}-2r+\fbox{テ}r^2},\ \frac{\sqrt{\fbox{ト}}r}{\fbox{ツ}-2r+\fbox{テ}r^2} \right) \] である.
(1) $\displaystyle r=\frac{1}{2}$,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき,$\displaystyle A^3=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}} \left( \begin{array}{cc} \fbox{エ} & \fbox{オ} \\ \fbox{オ} & \fbox{エ} \end{array} \right)$であり,$\mathrm{P}_7$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}},\ \frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{キクケ}} \right)$である.
(2) $E-A$が逆行列をもたない$r,\ \theta \ \ (r \geqq 0,\ 0 \leqq \theta<2\pi)$の条件は,$r=\fbox{サ}$かつ$\theta=\fbox{シ}$である.ただし,$E$は単位行列とする.
$E-A$が逆行列をもつとき,$n$を$2$以上の整数とすると
$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{n-1})=E-A^n$より \[ E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n) \] また,$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1} \left( \begin{array}{cc} 1-r \cos \theta & -r \sin \theta \\ r \sin \theta & 1-r \cos \theta \end{array} \right)$であるから
$\displaystyle (E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1}T$とすると \[ T=\left( \begin{array}{cc} 1-r \cos \theta-r^n \fbox{ス}+r^{n+1} \fbox{セ} & -r \sin \theta+r^n \fbox{ソ}-r^{n+1} \fbox{タ} \\ r \sin \theta-r^n \fbox{ソ}+r^{n+1} \fbox{タ} & 1-r \cos \theta-r^n \fbox{ス}+r^{n+1} \fbox{セ} \end{array} \right) \] である.ただし,$\fbox{ス}$,$\fbox{セ}$,$\fbox{ソ}$,$\fbox{タ}$には,次の$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと.なお,同じ選択肢を選んでもよいものとする. \[ \nagamaruichi \ \sin n\theta \quad \nagamaruni \ \cos n\theta \quad \nagamarusan \ \sin (n-1) \theta \quad \nagamarushi \ \cos (n-1) \theta \quad \nagamarugo \ \sin (n+1) \theta \quad \nagamaruroku \ \cos (n+1) \theta \] $0 \leqq r<1$のとき,$\lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n$はともに収束し,さらに$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とすると, \[ \mathrm{Q}=\left( \frac{\fbox{チ}-r}{\fbox{ツ}-2r+\fbox{テ}r^2},\ \frac{\sqrt{\fbox{ト}}r}{\fbox{ツ}-2r+\fbox{テ}r^2} \right) \] である.
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