山口大学
2016年 工・理・教育 第4問
4
![nを自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.(1)α,βを実数とし,f(x)=\frac{α}{x-α}-\frac{β}{x-β}とする.f(x)の第n次導関数f^{(n)}(x)について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.f^{(n)}(x)={(-1)}^nn!{\frac{α}{{(x-α)}^{n+1}}-\frac{β}{{(x-β)}^{n+1}}}(2)b,cをb^2>4cを満たす実数とし,h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c}とする.また,h(x)の第n次導関数h^{(n)}(x)に対し,a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}とおく.(i)2次方程式x^2-bx+c=0の解をα,βとする.a_nをα,β,nを用いて表しなさい.(ii)a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0が成り立つことを示しなさい.](./thumb/650/2795/2016_4.png)
4
$n$を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) $\alpha,\ \beta$を実数とし, \[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \] とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい. \[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2) $b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし, \[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \] とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.
(ⅰ) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ⅱ) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
(1) $\alpha,\ \beta$を実数とし, \[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \] とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい. \[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2) $b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし, \[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \] とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.
(ⅰ) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ⅱ) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。