山形大学
2012年 人文学部 第3問
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![正の整数からなる数列{a_n}がn=1,2,3,・・・に対してn(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}})<2,2+\frac{1}{a_{n+1}}<(n+1)(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}})を満たし,かつa_2=2とする.このとき,次の問に答えよ.(1)a_1を求めよ.(2)a_3を求めよ.(3)一般項a_nを推定し,それが正しいことを証明せよ.(4)Σ_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}を求めよ.](./thumb/72/2156/2012_3.png)
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正の整数からなる数列$\{a_n\}$が$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ n \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right)<2,\quad 2+\frac{1}{a_{n+1}}<(n+1) \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right) \]
を満たし,かつ$a_2=2$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_3$を求めよ.
(3) 一般項$a_n$を推定し,それが正しいことを証明せよ.
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}$を求めよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_3$を求めよ.
(3) 一般項$a_n$を推定し,それが正しいことを証明せよ.
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}$を求めよ.
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