東京都市大学
2016年 工(機シ・医工・化学)・知識工 第1問
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次の問に答えよ.
(1) $i$を虚数単位とする.複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し,複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{P}(\alpha\beta)$,$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める.三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき,$|\beta|$を求めよ.
(2) 等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ.
(3) 点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$,$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について,$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$,$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$,$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき,実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ.さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
(1) $i$を虚数単位とする.複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し,複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{P}(\alpha\beta)$,$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める.三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき,$|\beta|$を求めよ.
(2) 等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ.
(3) 点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$,$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について,$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$,$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$,$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき,実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ.さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
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