東京理科大学
2015年 理(数理情報科・応用物理・応用化学) 第3問
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座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=2x^2+2x+\frac{1}{2}$と$\displaystyle C_2:y=-2x^2+2x+\frac{3}{2}$に対して次の問いに答えよ.なお,必要なら \ \setlength{\fboxrule}{0.8pt}\tbox{\rule[-0.43em]{0pt}{1.6em}\hspace{0.33em} $1$\hspace{0.57em}} $(1)$の結果を使ってもよい.
(1) $C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(t,\ 2t^2+2t+\frac{1}{2})$と$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B}(s,\ -2s^2+2s+\frac{3}{2})$に対し,$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線の傾きと$C_2$の点$\mathrm{B}$における接線の傾きが等しくなるための必要十分条件を$t$と$s$の式で表せ.
(2) $(1)$の条件を満たすようなどんな実数$t,\ s$に対しても,直線$\mathrm{AB}$はある共通の点$\mathrm{M}$を通る.$\mathrm{M}$の座標を求めよ.
(3) $\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする.$C_1$とただ一つの共有点をもつような,$\mathrm{M}$を中心とする円に対して,円の半径と共有点の$x$座標を求めよ.
(4) $\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする.$C_2$とただ一つの共有点をもつような,$\mathrm{M}$を中心とする円に対して,円の半径と共有点の$x$座標を求めよ.
(5) $(1)$の条件を満たすような実数$t,\ s$に対して,線分$\mathrm{AB}$の長さがとり得る値の最小値を求めよ.
(1) $C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(t,\ 2t^2+2t+\frac{1}{2})$と$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B}(s,\ -2s^2+2s+\frac{3}{2})$に対し,$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線の傾きと$C_2$の点$\mathrm{B}$における接線の傾きが等しくなるための必要十分条件を$t$と$s$の式で表せ.
(2) $(1)$の条件を満たすようなどんな実数$t,\ s$に対しても,直線$\mathrm{AB}$はある共通の点$\mathrm{M}$を通る.$\mathrm{M}$の座標を求めよ.
(3) $\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする.$C_1$とただ一つの共有点をもつような,$\mathrm{M}$を中心とする円に対して,円の半径と共有点の$x$座標を求めよ.
(4) $\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする.$C_2$とただ一つの共有点をもつような,$\mathrm{M}$を中心とする円に対して,円の半径と共有点の$x$座標を求めよ.
(5) $(1)$の条件を満たすような実数$t,\ s$に対して,線分$\mathrm{AB}$の長さがとり得る値の最小値を求めよ.
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