東京理科大学
2012年 薬学部(生命創薬科) 第3問
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$3$次方程式$x^3-6x^2+ax+a=0$が異なる$3$つの実数解$u,\ v,\ w$をもち,
\[ (u-1)^3+(v-2)^3+(w-3)^2=0 \]
が成り立っているとする.ただし$a$は実数とする.このとき$u,\ v,\ w$の間に成り立つ関係式と$a$の値は次の$3$通りである.
(1) $\displaystyle w=\fbox{ノ},\ u+v=\fbox{ハ},\ a=\frac{\fbox{ヒフ}}{\fbox{ヘ}}$
(2) $\displaystyle v=\fbox{ホ},\ u+w=\fbox{マ},\ a=\frac{\fbox{ミム}}{\fbox{メ}}$
(3) $\displaystyle u=\fbox{モ},\ v+w=\fbox{ヤ},\ a=\frac{\fbox{ユ}}{\fbox{ヨ}}$
ただし,必要ならば,一般に$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の$3$つの解を$\alpha$,$\beta$,$\gamma$とすると, \[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \] が成り立つことを用いてもよい.
(1) $\displaystyle w=\fbox{ノ},\ u+v=\fbox{ハ},\ a=\frac{\fbox{ヒフ}}{\fbox{ヘ}}$
(2) $\displaystyle v=\fbox{ホ},\ u+w=\fbox{マ},\ a=\frac{\fbox{ミム}}{\fbox{メ}}$
(3) $\displaystyle u=\fbox{モ},\ v+w=\fbox{ヤ},\ a=\frac{\fbox{ユ}}{\fbox{ヨ}}$
ただし,必要ならば,一般に$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の$3$つの解を$\alpha$,$\beta$,$\gamma$とすると, \[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \] が成り立つことを用いてもよい.
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