徳島大学
2016年 医(保健)・工学部 第3問
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![△OABの頂点をO(0,0),A(1,0),B(a,b)とする.辺OAをp:(1-p)に内分する点をP,辺ABをq:(1-q)に内分する点をQ,辺BOをr:(1-r)に内分する点をRとする.ただし,0<p<1,0<q<1,0<r<1とする.△OABの面積をS_1,△PQRの面積をS_2として,次の問いに答えよ.(1)△OABの重心と△PQRの重心が一致するとき,p:q:rを求めよ.(2)3点(0,0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)を頂点とする三角形の面積は,1/2|x_1y_2-x_2y_1|で表されることを示せ.(3)\frac{S_2}{S_1}をp,q,rを用いて表せ.(4)△OABの重心と△PQRの重心が一致するとき,\frac{S_2}{S_1}の最小値を求めよ.](./thumb/661/2831/2016_3.png)
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$\triangle \mathrm{OAB}$の頂点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(a,\ b)$とする.辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.ただし,$0<p<1$,$0<q<1$,$0<r<1$とする.$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$として,次の問いに答えよ.
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき,$p:q:r$を求めよ.
(2) $3$点$(0,\ 0)$,$(x_1,\ y_1)$,$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は,$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ.
(3) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ.
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき,$p:q:r$を求めよ.
(2) $3$点$(0,\ 0)$,$(x_1,\ y_1)$,$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は,$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ.
(3) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ.
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