玉川大学
2016年 全学部 第2問
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次の$\fbox{}$を埋めよ.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする.$\mathrm{CA}=x$とおくとき, \[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\fbox{ア}+x^2}{\fbox{イ}x} \] である.$\angle \mathrm{BAC}$の最大は,${\fbox{ウエ}}^\circ$であり,このとき,$x=\fbox{オ}$である.
(2) $1 \leqq x \leqq 100$とする.このとき,方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は,$\fbox{カキ}$個で,$x$が最小となる解は,$(x,\ y)=(\fbox{ク},\ \fbox{ケ})$である.
(3) 方程式 \[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \] を解くと,$n$を任意の整数として \[ x=\frac{\pi}{\fbox{コ}}+2n \pi,\ \frac{\pi}{\fbox{サ}}+\frac{1}{\fbox{シ}}n \pi \] となる.
(4) $2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$,$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする.このとき,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は, \[ t>\fbox{ス},\quad t<-\sqrt{\fbox{セ}} \] であり,鈍角になる条件は, \[ -\sqrt{\fbox{ソ}}<t<\fbox{タ} \] である.
(5) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,$S_n=n^2+n$で表されるとき, \[ a_n=\fbox{チ}n \] である.また, \[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{\fbox{ツ}} (\fbox{テ}n^2+\fbox{トナ}n+\fbox{ニヌ}) \] である.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする.$\mathrm{CA}=x$とおくとき, \[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\fbox{ア}+x^2}{\fbox{イ}x} \] である.$\angle \mathrm{BAC}$の最大は,${\fbox{ウエ}}^\circ$であり,このとき,$x=\fbox{オ}$である.
(2) $1 \leqq x \leqq 100$とする.このとき,方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は,$\fbox{カキ}$個で,$x$が最小となる解は,$(x,\ y)=(\fbox{ク},\ \fbox{ケ})$である.
(3) 方程式 \[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \] を解くと,$n$を任意の整数として \[ x=\frac{\pi}{\fbox{コ}}+2n \pi,\ \frac{\pi}{\fbox{サ}}+\frac{1}{\fbox{シ}}n \pi \] となる.
(4) $2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$,$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする.このとき,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は, \[ t>\fbox{ス},\quad t<-\sqrt{\fbox{セ}} \] であり,鈍角になる条件は, \[ -\sqrt{\fbox{ソ}}<t<\fbox{タ} \] である.
(5) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,$S_n=n^2+n$で表されるとき, \[ a_n=\fbox{チ}n \] である.また, \[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{\fbox{ツ}} (\fbox{テ}n^2+\fbox{トナ}n+\fbox{ニヌ}) \] である.
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