大阪市立大学
2010年 理系 第4問
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$a,\ b$は$a < b$をみたす実数とする.$f(x),\ g(x)$は閉区間$[ \; a,\ b \; ]$で定義された連続関数で,$g(x) \leqq f(x)$をみたすとする.座標平面上,不等式$a \leqq x \leqq b,\ g(x) \leqq y \leqq f(x)$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をAとする.Aの面積$S$が正のとき,Aの重心の$y$座標は,
\[ \frac{1}{S} \int_a^b \frac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{2} \, dx \]
で与えられる.この事実を用いて,次の問いに答えよ.
(1) $r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする.不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく.Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ.
(2) $t$は正の実数とする.不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく.Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ.
(3) (1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について,$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ.
(1) $r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする.不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく.Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ.
(2) $t$は正の実数とする.不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく.Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ.
(3) (1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について,$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ.
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