大阪市立大学
2011年 理系 第4問
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$N,\ a,\ b$は正の整数とする.箱の中に赤玉が$a$個,白玉が$b$個入っている.箱から無作為に1個の玉を取り出し,色を記録して箱に戻す.この操作を繰り返し,同じ色の玉が2回続けて出るか,または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する.$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし,$\displaystyle p=\frac{a}{a+b},\ q =\frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく.次の問いに答えよ.
(1) $P(2j),\ P(2j+1) \ (j =1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle (1-r)\sum_{j=1}^N jr^{j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^N$を示せ.
(3) 取り出す回数の期待値$\displaystyle m = \sum_{n=2}^{2N+2} nP(n)$について,$\displaystyle m<\frac{2+r}{1-r}$となることを示せ.
(4) 上の期待値$m$について,$m<3$を示せ.
(1) $P(2j),\ P(2j+1) \ (j =1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle (1-r)\sum_{j=1}^N jr^{j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^N$を示せ.
(3) 取り出す回数の期待値$\displaystyle m = \sum_{n=2}^{2N+2} nP(n)$について,$\displaystyle m<\frac{2+r}{1-r}$となることを示せ.
(4) 上の期待値$m$について,$m<3$を示せ.
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