日本医科大学
2016年 医学部 第2問
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次の関数$f(x)$(ただし$x>0$)に関する以下の各問いに答えよ.
\[ f(x)=\int_1^x t(x-t+1)e^{-{(x-t+1)}^2} \, dt \]
(1) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2) 関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-x^2})$とするとき,$f(x)$と$g(x)$の$x>0$における大小関係を調べよ.
(3) $(2)$の$g(x)$に対して,傾きが$f^\prime(x)-g^\prime(x)$の$x=\sqrt{2}$における値に等しく,点$(1,\ 0)$を通る直線を考えることにより,不等式 \[ 0.115<f(\sqrt{2})<0.165 \] が成り立つことを示せ.ただし,$0.367<e^{-1}<0.368$,$0.135<e^{-2}<0.136$であることは用いてよい.
(1) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2) 関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-x^2})$とするとき,$f(x)$と$g(x)$の$x>0$における大小関係を調べよ.
(3) $(2)$の$g(x)$に対して,傾きが$f^\prime(x)-g^\prime(x)$の$x=\sqrt{2}$における値に等しく,点$(1,\ 0)$を通る直線を考えることにより,不等式 \[ 0.115<f(\sqrt{2})<0.165 \] が成り立つことを示せ.ただし,$0.367<e^{-1}<0.368$,$0.135<e^{-2}<0.136$であることは用いてよい.
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