長崎大学
2016年 医学部 第3問
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関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える.$p$を正の数とする.以下の問いに答えよ.
(1) $f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.また,すべての$x$について \[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \] が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ.
(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする.$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ.さらに,区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ,不等式 \[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \] が成り立つことを示せ.
(3) $x \geqq 0$の範囲で,曲線$C$と接線$\ell$,および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする.その面積$S(p)$を求めよ.
(4) $2$辺が$x$軸,$y$軸に平行な長方形$R$を考える.$R$が図形$F$を囲んでいるとき,$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ.さらに,$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ.
(1) $f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.また,すべての$x$について \[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \] が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ.
(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする.$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ.さらに,区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ,不等式 \[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \] が成り立つことを示せ.
(3) $x \geqq 0$の範囲で,曲線$C$と接線$\ell$,および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする.その面積$S(p)$を求めよ.
(4) $2$辺が$x$軸,$y$軸に平行な長方形$R$を考える.$R$が図形$F$を囲んでいるとき,$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ.さらに,$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ.
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