長崎大学
2016年 医学部 第2問
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$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある.下の図$1$のように,$2$辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CD}$上に,$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x \ \ (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$,$\mathrm{T}$をとる.このとき,三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい.以下の問いに答えよ.
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(1) 上の図$2$を参考にして,三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \] と表されることを証明せよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく.立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して,$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$,$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$,$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を,それぞれ$x$の式として表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は,$x$によらない一定の値になることを示せ.
(3) 上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ.
(4) $0 \leqq x \leqq 2$の範囲で,$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの$x$の値も答えよ.
(1) 上の図$2$を参考にして,三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \] と表されることを証明せよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく.立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して,$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$,$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$,$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を,それぞれ$x$の式として表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は,$x$によらない一定の値になることを示せ.
(3) 上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ.
(4) $0 \leqq x \leqq 2$の範囲で,$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの$x$の値も答えよ.
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