長崎大学
2011年 文系 第2問
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$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{CA}=5$である直角三角形$\mathrm{ABC}$と,その内側にあって$2$辺$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$に接する円$\mathrm{O}$を考える.この円の半径を$r$とし,中心$\mathrm{O}$から$\mathrm{AB}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする.また,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と同じ向きで大きさが$1$のベクトルを,それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{u} \ (t>0)$とする.次の問いに答えよ.
(1) 直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ.
(2) ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求め,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HO}}$を,それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$および$t$を用いて表せ.また,円$\mathrm{O}$の半径$r$を$t$で表せ.
(3) 円$\mathrm{O}$が辺$\mathrm{BC}$にも接するとき,その中心を$\mathrm{I}$とする.すなわち,$\mathrm{I}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内心である.そのときの$t$の値と,内接円$\mathrm{I}$の半径を求めよ.
(4) 円$\mathrm{O}$と内接円$\mathrm{I}$が共有点をもたないような$t$の範囲を求めよ.
(1) 直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ.
(2) ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求め,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HO}}$を,それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$および$t$を用いて表せ.また,円$\mathrm{O}$の半径$r$を$t$で表せ.
(3) 円$\mathrm{O}$が辺$\mathrm{BC}$にも接するとき,その中心を$\mathrm{I}$とする.すなわち,$\mathrm{I}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内心である.そのときの$t$の値と,内接円$\mathrm{I}$の半径を求めよ.
(4) 円$\mathrm{O}$と内接円$\mathrm{I}$が共有点をもたないような$t$の範囲を求めよ.
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