室蘭工業大学
2015年 工学部 第3問
3
![aを定数とし,0<a<π/2とする.媒介変数tを用いて{\begin{array}{l}x=cos^3t\y=sin^3t\phantom{2^{\mkakko{}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\end{array}.(0≦t≦π/2)と表される曲線をCとする.また,Cの0≦t≦aの部分の長さをLとする.(1)Lをaを用いて表せ.ただし,LはL=∫_0^a\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dtと表される.(2)曲線C上の点P(cos^3a,sin^3a)における接線ℓの方程式を求めよ.また,ℓとx軸の交点Qの座標を求めよ.(3)(2)の2点P,Q間の距離をMとするとき,L=3/2Mが成り立つことを示せ.](./thumb/7/18/2015_3.png)
3
$a$を定数とし,$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$とする.媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\cos^3 t \\
y=\sin^3 t \phantom{2^{\mkakko{}}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right. \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表される曲線を$C$とする.また,$C$の$0 \leqq t \leqq a$の部分の長さを$L$とする.
(1) $L$を$a$を用いて表せ.ただし,$L$は$\displaystyle L=\int_0^a \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$と表される.
(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(\cos^3 a,\ \sin^3 a)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.また,$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3) $(2)$の$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離を$M$とするとき,$\displaystyle L=\frac{3}{2}M$が成り立つことを示せ.
(1) $L$を$a$を用いて表せ.ただし,$L$は$\displaystyle L=\int_0^a \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$と表される.
(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(\cos^3 a,\ \sin^3 a)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.また,$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3) $(2)$の$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離を$M$とするとき,$\displaystyle L=\frac{3}{2}M$が成り立つことを示せ.
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