三重大学
2012年 工学部 第4問
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![以下の問いに答えよ.(1)関数y=x-e^{-x}の増減を調べよ.(2)実数αでα-e^{-α}=0を満たすものがひとつだけ存在することを示せ.さらに,このαは,0<α<1を満たすことを示せ.(3)(2)のαと正の整数nに対して,I_n=∫_0^α(xe^{-nx}+αx^{n-1})dxとおく.I_nをαの多項式として表せ.また,\lim_{n→∞}n^2I_nを求めよ.](./thumb/457/2647/2012_4.png)
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以下の問いに答えよ.
(1) 関数$y=x-e^{-x}$の増減を調べよ.
(2) 実数$\alpha$で$\alpha-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ.さらに,この$\alpha$は,$0<\alpha<1$を満たすことを示せ.
(3) (2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して, \[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \] とおく.$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ.また,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ.
(1) 関数$y=x-e^{-x}$の増減を調べよ.
(2) 実数$\alpha$で$\alpha-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ.さらに,この$\alpha$は,$0<\alpha<1$を満たすことを示せ.
(3) (2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して, \[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \] とおく.$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ.また,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ.
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