明治大学
2016年 全学部(理工) 第3問
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次の空欄に当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ.ただし,空欄$\fbox{サシ}$は$2$桁の数をあらわす.
(1) $k$を自然数とすると \[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=\fbox{ア} \] である.
(2) 直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし,曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする.直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする.関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので,直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである.その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする.点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと, \[ h=\frac{1}{\fbox{イ}} \sin^2 t \] となる.また,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする.点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは \[ p=\fbox{ウ}t+\frac{\sqrt{\fbox{エ}}}{\fbox{オ}} \sin^2 t \] となる.この等式の右辺を$f(t)$とおく.
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え,その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると,$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる.ここで,$p=f(t)$とおいて置換積分すれば, \[ V=\frac{\pi}{\fbox{キ}} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \] が成り立つ.$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \pi$より,$\displaystyle V=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サシ}} \pi^2$である.
(1) $k$を自然数とすると \[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=\fbox{ア} \] である.
(2) 直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし,曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする.直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする.関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので,直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである.その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする.点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと, \[ h=\frac{1}{\fbox{イ}} \sin^2 t \] となる.また,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする.点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは \[ p=\fbox{ウ}t+\frac{\sqrt{\fbox{エ}}}{\fbox{オ}} \sin^2 t \] となる.この等式の右辺を$f(t)$とおく.
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え,その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると,$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる.ここで,$p=f(t)$とおいて置換積分すれば, \[ V=\frac{\pi}{\fbox{キ}} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \] が成り立つ.$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \pi$より,$\displaystyle V=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サシ}} \pi^2$である.
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