明治大学
2016年 全学部 第1問
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次の$\fbox{}$に適切な数を入れよ.
(1) 座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 1)$,$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して, \[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}} \] である.
(2) 開発中のある薬品を製造するために,$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が考案された.また,各々の方式で,失敗せず薬品が製造できる確率は,それぞれ,$90 \, \%$,$70 \, \%$,$50 \, \%$である.これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき,少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は,$\fbox{ウ}\fbox{エ}.\fbox{オ} \%$である.
(3) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が, \[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で表されるとき,初項は$\displaystyle a_1=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$であり,一般項は$\displaystyle a_n=\frac{\fbox{ク}^{n-1}}{\fbox{ケ}^n}$である.
また,$a_{2016}$の整数部分は$\fbox{コ}\fbox{サ}\fbox{シ}$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.30103$とする.
(4) $a,\ b,\ c$を定数とし,$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$,$f(2)=31$を満たす.さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$,$x=1$で極値をとるとする.このとき,$a=\fbox{ス}$,$b=\fbox{セ}$,$c=\fbox{ソ}$であり,$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{\fbox{タ}\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$である.
(1) 座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 1)$,$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して, \[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}} \] である.
(2) 開発中のある薬品を製造するために,$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が考案された.また,各々の方式で,失敗せず薬品が製造できる確率は,それぞれ,$90 \, \%$,$70 \, \%$,$50 \, \%$である.これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき,少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は,$\fbox{ウ}\fbox{エ}.\fbox{オ} \%$である.
(3) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が, \[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で表されるとき,初項は$\displaystyle a_1=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$であり,一般項は$\displaystyle a_n=\frac{\fbox{ク}^{n-1}}{\fbox{ケ}^n}$である.
また,$a_{2016}$の整数部分は$\fbox{コ}\fbox{サ}\fbox{シ}$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.30103$とする.
(4) $a,\ b,\ c$を定数とし,$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$,$f(2)=31$を満たす.さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$,$x=1$で極値をとるとする.このとき,$a=\fbox{ス}$,$b=\fbox{セ}$,$c=\fbox{ソ}$であり,$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{\fbox{タ}\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$である.
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