明治大学
2011年 商学部 第3問
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![自然数n,kについて,xy平面上で0≦y≦xとy≦2n+k-xで定まる領域をC_kとする.ある整数a,bに対して,(a,b),(a+k,b),(a,b+k),(a+k,b+k)を頂点にもつ正方形を1辺がkの格子点の正方形と呼ぶ事にする.C_kに入る格子点の正方形を考える(C_kの境界も含める).このとき,次の問いに答えよ.(1)n=4のとき,C_k内に1辺がkの格子点の正方形が存在するための,最大のkをもとめよ.(2)1辺がkの格子点の正方形が,C_k内に存在するためのkの条件を,nであらわせ.(3)C_k内にある1辺がkの格子点の正方形の総数をa_kとするとき,a_kをnとkの式であらわせ.(4)a_1+a_2+・・・+a_nをもとめよ.](./thumb/294/794/2011_3.png)
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自然数$n,\ k$について,$xy$平面上で$0 \leqq y \leqq x$と$y \leqq 2n+k-x$で定まる領域を$C_k$とする.ある整数$a,\ b$に対して,$(a,\ b)$,$(a+k,\ b)$,$(a,\ b+k)$,$(a+k,\ b+k)$を頂点にもつ正方形を$1$辺が$k$の格子点の正方形と呼ぶ事にする.$C_k$に入る格子点の正方形を考える($C_k$の境界も含める).このとき,次の問いに答えよ.
(1) $n=4$のとき,$C_k$内に$1$辺が$k$の格子点の正方形が存在するための,最大の$k$をもとめよ.
(2) $1$辺が$k$の格子点の正方形が,$C_k$内に存在するための$k$の条件を,$n$であらわせ.
(3) $C_k$内にある$1$辺が$k$の格子点の正方形の総数を$a_k$とするとき,$a_k$を$n$と$k$の式であらわせ.
(4) $a_1+a_2+\cdots +a_n$をもとめよ.
(1) $n=4$のとき,$C_k$内に$1$辺が$k$の格子点の正方形が存在するための,最大の$k$をもとめよ.
(2) $1$辺が$k$の格子点の正方形が,$C_k$内に存在するための$k$の条件を,$n$であらわせ.
(3) $C_k$内にある$1$辺が$k$の格子点の正方形の総数を$a_k$とするとき,$a_k$を$n$と$k$の式であらわせ.
(4) $a_1+a_2+\cdots +a_n$をもとめよ.
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