杏林大学
2013年 医学部 第4問
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$\fbox{オ}$,$\fbox{タ}$,$\fbox{チ}$,$\fbox{ト}$,$\fbox{ナ}$の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ.
条件$a_1=0$,$a_2=0$と漸化式 \[ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \hfill \cdots\cdots (\ast) \] $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列の一般項を,以下の要領で求めてみよう.
(1) 漸化式$(\ast)$より,ベクトル$\overrightarrow{b_n}=\left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ a_n \end{array} \right)$に対して \[ \overrightarrow{b_{n+1}}=A \overrightarrow{b_n}+\left( \begin{array}{c} 2^n \log_2 \displaystyle\frac{(n+1)^2}{n} \\ 0 \end{array} \right) \] が成立する.ただし,行列$A$は$A=\left( \begin{array}{cc} \fbox{ア} & \fbox{イウ} \\ \fbox{エ} & 0 \end{array} \right)$である.
この式の両辺に,$A$の逆行列$A^{-1}$を左から$n$回かけると \[ (A^{-1})^n \overrightarrow{b_{n+1}}=(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}+(A^{-1})^n \left( \begin{array}{c} \displaystyle 2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \\ 0 \end{array} \right) \] となり,$(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}$の階差数列がわかる.これより,$2$以上の整数$n$に対し, \[ (A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_{n}}=\overrightarrow{b_1}+\sum_{k=1}^{\fbox{オ}} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c} \displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\ 0 \end{array} \right) \hfill \cdots\cdots (\ast\ast) \] を得る.
(2) $(\ast\ast)$式の右辺第一項は$\overrightarrow{b_1}=\left( \begin{array}{c} \fbox{カ} \\ \fbox{キ} \end{array} \right)$であり,$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} \fbox{ク} & \fbox{ケ} \\ \fbox{コサ} & \fbox{シ} \end{array} \right)$は行列$P=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$を用いて \[ A^{-1}=P \left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} & 0 \\ 0 & \fbox{ソ} \end{array} \right) P^{-1} \] と表されるので,$(\ast\ast)$式右辺の和の項について,次式が成立する. \[ \sum_{k=1}^{\fbox{オ}} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c} \displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\ 0 \end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c} \log_2 \fbox{タ} \\ -2^n \log_2 \fbox{チ} \end{array} \right) \]
(3) $(2)$の結果と,行列$A$が同じ$P$を用いて \[ A=P \left( \begin{array}{cc} \fbox{ツ} & 0 \\ 0 & \fbox{テ} \end{array} \right) P^{-1} \] と表わされることに注意すると,$(\ast\ast)$式の両辺に行列$A$を左から$(n-1)$回かけて得られる$\overrightarrow{b_n}$から,一般項$a_n$は \[ a_n=2^{\fbox{ト}} \log_2 \fbox{ナ} \] ($n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$)となる.
$\fbox{オ}$,$\fbox{ト}$の解答群 \[ \begin{array}{llll} \nagamaruichi \ \ n-1 & \nagamaruni \ \ n & \nagamarusan \ \ n+1 & \nagamarushi \ \ 1-n \\ \nagamarugo \ \ -n & \nagamaruroku \ \ -n-1 \phantom{AA} & \nagamarushichi \ \ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \phantom{AA} & \nagamaruhachi \ \ n^2-1 \\ \nagamarukyu \ \ \displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) & & & \end{array} \]
$\fbox{タ}$,$\fbox{チ}$,$\fbox{ナ}$の解答群 \[ \begin{array}{llll} \nagamaruichi \ \ n-1 & \nagamaruni \ \ n & \nagamarusan \ \ \displaystyle\frac{n+1}{n} \phantom{AA} & \nagamarushi \ \ \displaystyle\frac{4n-6}{n} \\ \nagamarugo \ \ n^2-4n+5 & \nagamaruroku \ \ (n-1)! \phantom{AA} & \nagamarushichi \ \ n! \phantom{AA} & \nagamaruhachi \ \ n!-1 \\ \nagamarukyu \ \ (n-1) \times n! \phantom{AA} & \nagamarurei \ \ n \times n! & & \end{array} \]
条件$a_1=0$,$a_2=0$と漸化式 \[ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \hfill \cdots\cdots (\ast) \] $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列の一般項を,以下の要領で求めてみよう.
(1) 漸化式$(\ast)$より,ベクトル$\overrightarrow{b_n}=\left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ a_n \end{array} \right)$に対して \[ \overrightarrow{b_{n+1}}=A \overrightarrow{b_n}+\left( \begin{array}{c} 2^n \log_2 \displaystyle\frac{(n+1)^2}{n} \\ 0 \end{array} \right) \] が成立する.ただし,行列$A$は$A=\left( \begin{array}{cc} \fbox{ア} & \fbox{イウ} \\ \fbox{エ} & 0 \end{array} \right)$である.
この式の両辺に,$A$の逆行列$A^{-1}$を左から$n$回かけると \[ (A^{-1})^n \overrightarrow{b_{n+1}}=(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}+(A^{-1})^n \left( \begin{array}{c} \displaystyle 2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \\ 0 \end{array} \right) \] となり,$(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}$の階差数列がわかる.これより,$2$以上の整数$n$に対し, \[ (A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_{n}}=\overrightarrow{b_1}+\sum_{k=1}^{\fbox{オ}} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c} \displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\ 0 \end{array} \right) \hfill \cdots\cdots (\ast\ast) \] を得る.
(2) $(\ast\ast)$式の右辺第一項は$\overrightarrow{b_1}=\left( \begin{array}{c} \fbox{カ} \\ \fbox{キ} \end{array} \right)$であり,$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} \fbox{ク} & \fbox{ケ} \\ \fbox{コサ} & \fbox{シ} \end{array} \right)$は行列$P=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$を用いて \[ A^{-1}=P \left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} & 0 \\ 0 & \fbox{ソ} \end{array} \right) P^{-1} \] と表されるので,$(\ast\ast)$式右辺の和の項について,次式が成立する. \[ \sum_{k=1}^{\fbox{オ}} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c} \displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\ 0 \end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c} \log_2 \fbox{タ} \\ -2^n \log_2 \fbox{チ} \end{array} \right) \]
(3) $(2)$の結果と,行列$A$が同じ$P$を用いて \[ A=P \left( \begin{array}{cc} \fbox{ツ} & 0 \\ 0 & \fbox{テ} \end{array} \right) P^{-1} \] と表わされることに注意すると,$(\ast\ast)$式の両辺に行列$A$を左から$(n-1)$回かけて得られる$\overrightarrow{b_n}$から,一般項$a_n$は \[ a_n=2^{\fbox{ト}} \log_2 \fbox{ナ} \] ($n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$)となる.
$\fbox{オ}$,$\fbox{ト}$の解答群 \[ \begin{array}{llll} \nagamaruichi \ \ n-1 & \nagamaruni \ \ n & \nagamarusan \ \ n+1 & \nagamarushi \ \ 1-n \\ \nagamarugo \ \ -n & \nagamaruroku \ \ -n-1 \phantom{AA} & \nagamarushichi \ \ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \phantom{AA} & \nagamaruhachi \ \ n^2-1 \\ \nagamarukyu \ \ \displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) & & & \end{array} \]
$\fbox{タ}$,$\fbox{チ}$,$\fbox{ナ}$の解答群 \[ \begin{array}{llll} \nagamaruichi \ \ n-1 & \nagamaruni \ \ n & \nagamarusan \ \ \displaystyle\frac{n+1}{n} \phantom{AA} & \nagamarushi \ \ \displaystyle\frac{4n-6}{n} \\ \nagamarugo \ \ n^2-4n+5 & \nagamaruroku \ \ (n-1)! \phantom{AA} & \nagamarushichi \ \ n! \phantom{AA} & \nagamaruhachi \ \ n!-1 \\ \nagamarukyu \ \ (n-1) \times n! \phantom{AA} & \nagamarurei \ \ n \times n! & & \end{array} \]
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