慶應義塾大学
2014年 理工学部 第3問
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![a_1=0,a_{n+1}=log(a_n+e)(n=1,2,3,・・・)で定まる数列{a_n}の収束について調べたい.以下の問いに答えなさい.(1)方程式x=log(x+e)はx>0の範囲でただ1つの実数解βをもつことを証明しなさい.(2)すべての自然数nについて0≦a_n<βが成り立つことを証明しなさい.(3)0<a<bのときlogb-loga<\frac{b-a}{a}が成り立つことを証明しなさい.(4)すべての自然数nについてβ-a_{n+1}<1/e(β-a_n)が成り立つことを証明し,これを用いて\lim_{n→∞}a_n=βを示しなさい.](./thumb/202/89/2014_3.png)
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$a_1=0$,$a_{n+1}=\log (a_n+e) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$の収束について調べたい.以下の問いに答えなさい.
(1) 方程式$x=\log (x+e)$は$x>0$の範囲でただ$1$つの実数解$\beta$をもつことを証明しなさい.
(2) すべての自然数$n$について$0 \leqq a_n<\beta$が成り立つことを証明しなさい.
(3) $0<a<b$のとき$\displaystyle \log b-\log a<\frac{b-a}{a}$が成り立つことを証明しなさい.
(4) すべての自然数$n$について$\displaystyle \beta-a_{n+1}<\frac{1}{e}(\beta-a_n)$が成り立つことを証明し,これを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\beta$を示しなさい.
(1) 方程式$x=\log (x+e)$は$x>0$の範囲でただ$1$つの実数解$\beta$をもつことを証明しなさい.
(2) すべての自然数$n$について$0 \leqq a_n<\beta$が成り立つことを証明しなさい.
(3) $0<a<b$のとき$\displaystyle \log b-\log a<\frac{b-a}{a}$が成り立つことを証明しなさい.
(4) すべての自然数$n$について$\displaystyle \beta-a_{n+1}<\frac{1}{e}(\beta-a_n)$が成り立つことを証明し,これを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\beta$を示しなさい.
類題(関連度順)
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