慶應義塾大学
2014年 理工学部 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) $3$次方程式$x^3+1=0$の$-1$でない解の$1$つを$\alpha$とするとき, \[ (3+7 \alpha)(7+3 \alpha)-4(1+\alpha^2)=\fbox{ア} \alpha \] となる.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において, \[ \mathrm{AB}=2,\quad \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{4},\quad \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3} \] であるとき,$\mathrm{AC}=\fbox{イ}$である.
(3) $X=\left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{array} \right)$,$Y=\left( \begin{array}{rr} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{array} \right)$および自然数$n$に対し, \[ 3X^n-5X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^n=\left( \begin{array}{cc} \fbox{ウ} & \fbox{エ} \\ \fbox{オ} & \fbox{カ} \end{array} \right) \] となる.
(4) $a,\ b$を$a>0$,$b>1$となる実数とする.放物線$y=-ax^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が$2$個であるための必要十分条件は,$b=\fbox{キ}$かつ$a>\fbox{ク}$が成り立つことである.ただし,$\fbox{キ}$には$a$の式,$\fbox{ク}$には数を記入すること.
(1) $3$次方程式$x^3+1=0$の$-1$でない解の$1$つを$\alpha$とするとき, \[ (3+7 \alpha)(7+3 \alpha)-4(1+\alpha^2)=\fbox{ア} \alpha \] となる.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において, \[ \mathrm{AB}=2,\quad \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{4},\quad \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3} \] であるとき,$\mathrm{AC}=\fbox{イ}$である.
(3) $X=\left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{array} \right)$,$Y=\left( \begin{array}{rr} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{array} \right)$および自然数$n$に対し, \[ 3X^n-5X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^n=\left( \begin{array}{cc} \fbox{ウ} & \fbox{エ} \\ \fbox{オ} & \fbox{カ} \end{array} \right) \] となる.
(4) $a,\ b$を$a>0$,$b>1$となる実数とする.放物線$y=-ax^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が$2$個であるための必要十分条件は,$b=\fbox{キ}$かつ$a>\fbox{ク}$が成り立つことである.ただし,$\fbox{キ}$には$a$の式,$\fbox{ク}$には数を記入すること.
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