上智大学
2014年 理工学部 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=\fbox{ホ}ue^{-u}+\fbox{マ}e^{-u}+\fbox{ミ}$であり,これより \[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=\fbox{ム} \] である.
(2) 定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$\tokeiichi$,$\tokeini$を満たしているとする.
(ⅰ) 任意の実数$x$に対して \[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \] が成り立つ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ.
このとき$a=\fbox{メ}+\fbox{モ} \sqrt{\fbox{ヤ}}$であり,また \[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \] ただし,$A=\fbox{ユ}+\fbox{ヨ} \sqrt{\fbox{ラ}}$
\qquad $B=\fbox{リ}+\fbox{ル} \sqrt{\fbox{レ}}$
\qquad\,$k=\fbox{ロ}$
である.
(1) $\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=\fbox{ホ}ue^{-u}+\fbox{マ}e^{-u}+\fbox{ミ}$であり,これより \[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=\fbox{ム} \] である.
(2) 定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$\tokeiichi$,$\tokeini$を満たしているとする.
(ⅰ) 任意の実数$x$に対して \[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \] が成り立つ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ.
このとき$a=\fbox{メ}+\fbox{モ} \sqrt{\fbox{ヤ}}$であり,また \[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \] ただし,$A=\fbox{ユ}+\fbox{ヨ} \sqrt{\fbox{ラ}}$
\qquad $B=\fbox{リ}+\fbox{ル} \sqrt{\fbox{レ}}$
\qquad\,$k=\fbox{ロ}$
である.
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