上智大学
2011年 法(法),外国語(フランス・イスパニア・ロシア) 第2問
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$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に,放物線$F:y=x^2+1$および,点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を中心とする半径$4$の円$C$がある.$F$上に点$\mathrm{P}(t,\ t^2+1)$,$C$上に点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる.
(1) $\mathrm{P}$における放物線$F$の接線と直線$\mathrm{AP}$とが直交するとき,線分$\mathrm{AP}$の長さは$\fbox{タ} \sqrt{\fbox{チ}}$である.
(2) $\mathrm{Q}$を固定し,$\mathrm{P}$のみが動くとする.$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle t=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \frac{b}{a}$で最小値をとる.その最小値を$a$で表すと \[ \frac{1}{8} \left( \fbox{ト}a+\frac{\fbox{ナ}}{a}+\fbox{ニ} \right) \] である.
(3) $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がともに動くとする.$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle a=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}} \sqrt{\fbox{ノ}}$で最小値 \[ \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}+\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}} \sqrt{\fbox{ホ}} \] をとる.
(1) $\mathrm{P}$における放物線$F$の接線と直線$\mathrm{AP}$とが直交するとき,線分$\mathrm{AP}$の長さは$\fbox{タ} \sqrt{\fbox{チ}}$である.
(2) $\mathrm{Q}$を固定し,$\mathrm{P}$のみが動くとする.$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle t=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \frac{b}{a}$で最小値をとる.その最小値を$a$で表すと \[ \frac{1}{8} \left( \fbox{ト}a+\frac{\fbox{ナ}}{a}+\fbox{ニ} \right) \] である.
(3) $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がともに動くとする.$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle a=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}} \sqrt{\fbox{ノ}}$で最小値 \[ \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}+\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}} \sqrt{\fbox{ホ}} \] をとる.
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