上智大学
2012年 経済(経済) 第3問
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下の図$1$のように$3 \times 3$のマスがあり,各マスに番号が書いてある.$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が,これらのマスを以下の条件$\tokeiichi$~$\tokeishi$に従って互いに独立に移動していく.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$1$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
$7$ & $8$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular} \\
図$1$
\end{center}
条件$\tokeiichi$ \ \ $\mathrm{A}$は一番上のマス$1,\ 2,\ 3$のいずれかから,また,$\mathrm{B}$は一番下のマス$7,\ 8,\ 9$のいずれかから出発する.
条件$\tokeini$ \ \ $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が出発するマスは,それぞれ等しい確率で選ばれる.
条件$\tokeisan$ \ \ $\mathrm{A}$は下の段へ,$\mathrm{B}$は上の段へ$1$段ずつ$2$回動く.
条件$\tokeishi$ \ \ $\mathrm{A}$の$1$回ごとの動きは,図$2$の場合は$3$通り,図$3$の場合はそれぞれ$2$通りある.また,それぞれ等しい確率で次のマスに動くものとする.$\mathrm{B}$の$1$回ごとの動きについても同様である.
例えば$\mathrm{A}$の移動$\fbox{ $1$ } \to \fbox{ $4$ } \to \fbox{ $7$ }$を考えると,その確率は$\displaystyle \frac{1}{12}$である.
(1) $\mathrm{A}$の移動の場合の数は$\fbox{ミ}$通りである.そのうち,移動の確率が最も小さいものは$\fbox{ム}$通りあり,その移動の確率は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}}$である.
(2) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がともに奇数の番号のマスしか通らない確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ヤ}}{\fbox{ユ}}$である.
(3) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が中段のマス$4,\ 5,\ 6$で同じマスを通る確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ヨ}}{\fbox{ラ}}$である.
$n$を自然数とし,$(2n+1) \times (2n+1)$のマスの場合を考える.このとき,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$3 \times 3$のマスの場合と同様に移動するものとする.
(4) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が移動したマスを合わせたものが$2$つの対角線上のすべてのマスとなる確率は \[ \frac{1}{p^2 \cdot 3^q} \] である.ただし,$p=\fbox{リ}n+\fbox{ル}$,$q=\fbox{レ}n+\fbox{ロ}$である.
条件$\tokeiichi$ \ \ $\mathrm{A}$は一番上のマス$1,\ 2,\ 3$のいずれかから,また,$\mathrm{B}$は一番下のマス$7,\ 8,\ 9$のいずれかから出発する.
条件$\tokeini$ \ \ $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が出発するマスは,それぞれ等しい確率で選ばれる.
条件$\tokeisan$ \ \ $\mathrm{A}$は下の段へ,$\mathrm{B}$は上の段へ$1$段ずつ$2$回動く.
条件$\tokeishi$ \ \ $\mathrm{A}$の$1$回ごとの動きは,図$2$の場合は$3$通り,図$3$の場合はそれぞれ$2$通りある.また,それぞれ等しい確率で次のマスに動くものとする.$\mathrm{B}$の$1$回ごとの動きについても同様である.
例えば$\mathrm{A}$の移動$\fbox{ $1$ } \to \fbox{ $4$ } \to \fbox{ $7$ }$を考えると,その確率は$\displaystyle \frac{1}{12}$である.
(1) $\mathrm{A}$の移動の場合の数は$\fbox{ミ}$通りである.そのうち,移動の確率が最も小さいものは$\fbox{ム}$通りあり,その移動の確率は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}}$である.
(2) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がともに奇数の番号のマスしか通らない確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ヤ}}{\fbox{ユ}}$である.
(3) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が中段のマス$4,\ 5,\ 6$で同じマスを通る確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ヨ}}{\fbox{ラ}}$である.
$n$を自然数とし,$(2n+1) \times (2n+1)$のマスの場合を考える.このとき,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$3 \times 3$のマスの場合と同様に移動するものとする.
(4) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が移動したマスを合わせたものが$2$つの対角線上のすべてのマスとなる確率は \[ \frac{1}{p^2 \cdot 3^q} \] である.ただし,$p=\fbox{リ}n+\fbox{ル}$,$q=\fbox{レ}n+\fbox{ロ}$である.
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