浜松医科大学
2011年 医学部 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) $3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として,全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める. \[ \begin{array}{l} U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\ A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\ B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \} \end{array} \] このとき,部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は,全部で何個あるか.
以下,数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える.
(2) 次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ.
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは,$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である.
(3) 命題$\mathrm{P}$において,十分条件を必要十分条件に書きかえて,命題$\mathrm{Q}$をつくる.命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ.
(4) $9$と$11$のうち,どちらか一方の数で割り切れるけれども,他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し,残りはすべて取り去る.こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると,$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという.番号$k$を求めよ.
(1) $3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として,全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める. \[ \begin{array}{l} U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\ A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\ B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \} \end{array} \] このとき,部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は,全部で何個あるか.
以下,数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える.
(2) 次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ.
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは,$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である.
(3) 命題$\mathrm{P}$において,十分条件を必要十分条件に書きかえて,命題$\mathrm{Q}$をつくる.命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ.
(4) $9$と$11$のうち,どちらか一方の数で割り切れるけれども,他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し,残りはすべて取り去る.こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると,$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという.番号$k$を求めよ.
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