福岡教育大学
2010年 初等教育 第4問
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空間上に相異なる$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$があり,線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$は互いに直交している.次の問いに答えよ.
(1) $4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$からの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する.この点を$\mathrm{G}$とする.線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MG}}$が直交することを用いて, \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 \] となることを示せ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の内積とする.
(2) (1)を用いて, \[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \] が成り立つことを示せ.
(3) $\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3},\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2} \right)$,$\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\sqrt{6}}{4},\ -\frac{\sqrt{2}}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$とする.このとき線分$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$,$\mathrm{OR}$は互いに直交していることを示せ.また,$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る球面の半径を求めよ.
(1) $4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$からの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する.この点を$\mathrm{G}$とする.線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MG}}$が直交することを用いて, \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 \] となることを示せ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の内積とする.
(2) (1)を用いて, \[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \] が成り立つことを示せ.
(3) $\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3},\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2} \right)$,$\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\sqrt{6}}{4},\ -\frac{\sqrt{2}}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$とする.このとき線分$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$,$\mathrm{OR}$は互いに直交していることを示せ.また,$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る球面の半径を求めよ.
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