一橋大学
2016年 文系 第5問
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次の$\tocichi$,$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ.
[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である.このとき \[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \] のとりうる値の範囲を求めよ. [$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である.次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである. \begin{center} \begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|} \hline & $\maruichi$ & $\maruni$ & $\marusan$ & $\marushi$ & $\marugo$ \\ \hline 科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline 科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}
(ⅰ) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について,$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$,$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると, \[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \] が成り立つことを示せ.
(ⅱ) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ.
(ⅲ) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった.このとき,$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ.
[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である.このとき \[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \] のとりうる値の範囲を求めよ. [$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である.次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである. \begin{center} \begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|} \hline & $\maruichi$ & $\maruni$ & $\marusan$ & $\marushi$ & $\marugo$ \\ \hline 科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline 科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}
(ⅰ) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について,$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$,$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると, \[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \] が成り立つことを示せ.
(ⅱ) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ.
(ⅲ) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった.このとき,$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ.
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