早稲田大学
2016年 教育 第2問
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$2$つの複素数$w,\ z \ \ (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある.ここで$w=x+yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)と表すとき,以下の問に答えよ.
(1) 複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする.このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ.
(2) $(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) \ \ (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ.
(1) 複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする.このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ.
(2) $(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) \ \ (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ.
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