長崎大学
2012年 理系 第1問
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四面体$\mathrm{OABC}$において
\[ \mathrm{OA}=1,\ \ \mathrm{OB}=3,\ \ \mathrm{OC}=2,\ \ \angle \mathrm{AOB}=90^\circ,\ \ \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=120^\circ \]
とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.次の問いに答えよ.
(1) 平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり,$s,\ t,\ u$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおく.このとき,$s+t+u=1$となることを示せ.
(2) (1)の$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとき,$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ求めよ.
(3) 平面$\mathrm{OAB}$上に点$\mathrm{K}$をとり,$\overrightarrow{\mathrm{CK}}$が平面$\mathrm{OAB}$に垂直であるとする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し,$\overrightarrow{\mathrm{CK}}$の大きさと四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
(1) 平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり,$s,\ t,\ u$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおく.このとき,$s+t+u=1$となることを示せ.
(2) (1)の$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとき,$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ求めよ.
(3) 平面$\mathrm{OAB}$上に点$\mathrm{K}$をとり,$\overrightarrow{\mathrm{CK}}$が平面$\mathrm{OAB}$に垂直であるとする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し,$\overrightarrow{\mathrm{CK}}$の大きさと四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
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