九州大学
2016年 理系 第1問
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座標平面上の曲線$C_1,\ C_2$をそれぞれ
$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$
とする.ただし,$a$は実数である.$n$を自然数とするとき,曲線$C_1$,$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わり,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている.また,曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$,曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $a$を$n$の式で表し,$a>1$を示せ.
(2) $S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ.
$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$
とする.ただし,$a$は実数である.$n$を自然数とするとき,曲線$C_1$,$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わり,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている.また,曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$,曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $a$を$n$の式で表し,$a>1$を示せ.
(2) $S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ.
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