金沢工業大学
2013年 理系2 第6問
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![座標平面において,媒介変数tの範囲が0≦t≦πであるサイクロイドx=t-sint,y=1-costをCとする.(1)曲線C上でy座標が最大になる点をAとすると,Aの座標は([ア],[イ])である.(2)直線y=x+kがこの曲線Cの0<t≦πの部分に接するのはt=\frac{π}{[ウ]}のときであり,その接点の座標は(\frac{π}{[エ]}-[オ],[カ])である.このとき,k=[キ]-\frac{π}{[ク]}である.(3)曲線Cとx軸,および点Aを通りy軸に平行な直線ℓで囲まれた図形の面積は\frac{[ケ]}{[コ]}πである.(4)(2)の接線,x軸および直線ℓとで囲まれた図形から(3)の図形を除いた部分の面積は\frac{π^2}{[サ]}-\frac{π}{[シ]}+[ス]である.](./thumb/361/2221/2013_6.png)
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座標平面において,媒介変数$t$の範囲が$0 \leqq t \leqq \pi$であるサイクロイド
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする.
(1) 曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると,$\mathrm{A}$の座標は$(\fbox{ア},\ \fbox{イ})$である.
(2) 直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{\fbox{ウ}}$のときであり,その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{\fbox{エ}}-\fbox{オ},\ \fbox{カ} \right)$である.このとき,$\displaystyle k=\fbox{キ}-\frac{\pi}{\fbox{ク}}$である.
(3) 曲線$C$と$x$軸,および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \pi$である.
(4) $(2)$の接線,$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{\fbox{サ}}-\frac{\pi}{\fbox{シ}}+\fbox{ス}$である.
(1) 曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると,$\mathrm{A}$の座標は$(\fbox{ア},\ \fbox{イ})$である.
(2) 直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{\fbox{ウ}}$のときであり,その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{\fbox{エ}}-\fbox{オ},\ \fbox{カ} \right)$である.このとき,$\displaystyle k=\fbox{キ}-\frac{\pi}{\fbox{ク}}$である.
(3) 曲線$C$と$x$軸,および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \pi$である.
(4) $(2)$の接線,$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{\fbox{サ}}-\frac{\pi}{\fbox{シ}}+\fbox{ス}$である.
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