$a,\ b,\ c$を実数とし，$a<1$とする．座標平面上の$2$曲線 \[ C_1:y=x^2-x,\quad C_2:y=x^3+bx^2+cx-a \] を考える．$C_1$と$C_2$は，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$と，それとは異なる点$\mathrm{Q}$を通る．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線の傾きは等しいものとする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線を$\ell_2$，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線を$\ell_3$とする．次の問いに答えよ．
(1) $b,\ c$および点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2) $\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が三角形をつくらないような$a$の値を求めよ．
(3) $\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が直角三角形をつくるような$a$の値の個数を求めよ．