広島大学
2014年 理系 第4問
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$\alpha>1$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\alpha,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{2a_n}{a_n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．
(1) $a_n>1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2) $\displaystyle \sqrt{x}-1 \leqq \frac{1}{2}(x-1) \quad (\text{ただし，} \ \ x \geqq 0 \text{とする．})$
(3) $\displaystyle a_n-1 \leqq \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}(\alpha-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) $a_n>1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2) $\displaystyle \sqrt{x}-1 \leqq \frac{1}{2}(x-1) \quad (\text{ただし，} \ \ x \geqq 0 \text{とする．})$
(3) $\displaystyle a_n-1 \leqq \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}(\alpha-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
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