$a,\ b$を実数，$a>0$として，行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & 2 \\ -2 & b \end{array} \right)$の定める$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が点$\mathrm{P}_1$に移され，点$\mathrm{P}_1$が点$\mathrm{P}_2$に移されるものとする．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であるとき，次の問いに答えよ．
(1) $a,\ b$を求めよ．
(2) ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると， \[ A \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) \] が成り立つ．$c$を求めよ．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする．すべての自然数$n$に対して \[ A^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right) \] が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(4) $(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め，$A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数である．